Вариант 1. 3. Решите аналитически: а) |−x² + 2x − 10| ≤ x² − 3; б) |x − 2| − |2x + 6| > 3.

а) Подмодульное выражение всегда отрицательно: \(-x^2+2x-10=-((x-1)^2+9)<0\). Поэтому его модуль равен противоположному выражению:

\(x^2-2x+10\le x^2-3\).

Сокращаем \(x^2\): \(-2x\le-13\), откуда при делении на отрицательное число знак меняется: \(x\ge\frac{13}{2}\).

б) Критические точки подмодульных выражений: \(x=-3\) и \(x=2\). Рассматриваем интервалы.

При \(x<-3\): \(|x-2|-|2x+6|=(2-x)-(-2x-6)=x+8\). Получаем \(x+8>3\), то есть \(x>-5\); вместе с условием интервала: \((-5;-3)\).

При \(-3\le x<2\): \(|x-2|-|2x+6|=(2-x)-(2x+6)=-3x-4\). Тогда \(-3x-4>3\), откуда \(x<-\frac{7}{3}\). С учётом интервала получаем \([-3;-\frac{7}{3})\).

При \(x\ge2\): разность равна \((x-2)-(2x+6)=-x-8\), а неравенство \(-x-8>3\) решений на этом интервале не имеет.

Объединяем промежутки: \((-5;-3)\cup[-3;-\frac{7}{3})=(-5;-\frac{7}{3})\).

Ответ: а) \([\frac{13}{2};+\infty)\); б) \((-5;-\frac{7}{3})\).