Вариант 1. 4. а) Из шахматной доски удаляются два квадрата по 4 клетки, находящиеся на ее противоположных углах. Можно ли из оставшихся 56 клеток (не склеивая отдельные клетки) вырезать 28 фишек домино? Если можно, то как? Если нельзя, то почему? (Каждая фишка состоит из двух клеток разных цветов.) б) Имеются две стеклотканевые шашечные доски. На клетках одной из них в произвольном порядке записываются числа от 1 до 100. Можно ли записать те же числа на клетках другой доски так, чтобы сумма чисел, стоящих на соответствующих клетках двух досок, была постоянной? Соответственными считаются клетки, имеющие одно и то же обозначение.

а) Можно. Удалим квадрат 2 × 2 в каждом из двух противоположных углов. Оставшуюся часть можно покрыть доминошками, расположенными горизонтально: в верхнем ряду покрываем клетки с 3-й по 8-ю, в нижнем — с 1-й по 6-ю; в каждом из шести средних рядов разбиваем все 8 клеток на четыре горизонтальные пары. Каждое домино покрывает две соседние клетки разных цветов.

б) Нельзя. Если бы сумма в каждой из 64 соответствующих пар клеток была одним и тем же числом S, сумма по всем клеткам двух досок равнялась бы 64S. Но на каждой доске записаны числа от 1 до 100, поэтому общая сумма равна 2 · (1 + 2 + … + 100) = 2 · 5050 = 10100. Число 10100 не делится на 64, а значит, оно не может быть равно 64S, где S — целое число.

Ответ: а) можно; б) нельзя.