Вариант 1. 4. В треугольнике ABC AB = BC, ∠CAB = 30°, AE — биссектриса, BE = 8 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Так как AB = BC, углы, лежащие напротив этих сторон, равны: ∠C = ∠A = 30°. Тогда ∠B = 120°.

По теореме синусов AC / AB = sin 120° / sin 30° = √3, поэтому AC = √3 · AB.

По теореме о биссектрисе AE: BE / EC = AB / AC = 1 / √3. При BE = 8 см получаем EC = 8√3 см, а BC = BE + EC = 8(1 + √3) см. Следовательно, AB = 8(1 + √3) см.

Площадь: S = ½ · AB · AC · sin 30° = (√3/4) · AB² = (√3/4) · [8(1 + √3)]² = 96 + 64√3 см².

Ответ: 96 + 64√3 см².