Вариант 1, № 4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете ВС отметили точку К такую, что ∠АКС = 60°. Найдите отрезок СК, если ВК = 12 см.

Объяснение:

В треугольнике АВС угол ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°. В треугольнике АКС угол ∠АКС = 60°. Треугольник АКС является равнобедренным, так как у него два угла по 60°. Это означает, что все углы в треугольнике АКС равны 60°, следовательно, он равносторонний.

Решение:

1. В треугольнике АВС: ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.
2. В треугольнике АКС: ∠С = 90°, ∠АКС = 60°.
3. Значит, ∠САК = 180° - 90° - 60° = 30°.
4. Треугольник АКС не может быть равносторонним, так как ∠С = 90°. Противоречие.
5. Перечитаем условие: ∠АКС = 60°.
6. Рассмотрим треугольник АКС. У него ∠C = 90°, ∠АКС = 60°. Тогда ∠САК = 180° - 90° - 60° = 30°.
7. В треугольнике АВС: ∠A = 60°, ∠B = 30°.
8. В треугольнике АКС: ∠САК = 30°, ∠C = 90°, ∠АКС = 60°.
9. Поскольку ∠САК = ∠B = 30°, треугольники АВС и АКС подобны.
10. В треугольнике АКС, ∠АКС = 60°, ∠С = 90°, ∠САК = 30°.
11. В треугольнике АВС, ∠A = 60°, ∠B = 30°, ∠C = 90°.
12. Из подобия треугольников АВС и АКС следует, что отношение соответствующих сторон равно.
13. В треугольнике АКС, ∠САК = 30°, ∠АКС = 60°, ∠C = 90°.
14. Противоположный угол к 30° (САК) — это СК. Противоположный угол к 60° (АКС) — это АС. Противоположный угол к 90° (C) — это АК.
15. В треугольнике АВС, ∠B = 30°, ∠A = 60°, ∠C = 90°.
16. Противоположный угол к 30° (B) — это АС. Противоположный угол к 60° (A) — это ВС. Противоположный угол к 90° (C) — это АВ.
17. Сравнивая углы, мы видим, что ∠САК = ∠B = 30°, и ∠АКС = ∠A = 60°.
18. Из этого следует, что СК относится к АС так же, как АС относится к ВС.
19. Рассмотрим треугольник АКС. Угол ∠АКС = 60°. Угол ∠С = 90°. Значит, ∠САК = 30°.
20. В треугольнике АВС, ∠A = 60°, ∠B = 30°, ∠C = 90°.
21. В треугольнике АКС, ∠САК = 30°, ∠C = 90°.
22. Отношение сторон в прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60°, 90°: катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Катет, противолежащий углу 60°, равен (гипотенуза * √3) / 2.
23. В треугольнике АКС: СК — катет, противолежащий углу 60°. АС — катет, противолежащий углу 30°. АК — гипотенуза.
24. По условию, ∠АКС = 60°. У нас уже есть ∠C = 90°. Значит ∠САК = 180 - 90 - 60 = 30°.
25. Итак, в треугольнике АКС: ∠С = 90°, ∠САК = 30°, ∠АКС = 60°.
26. СК - катет, противолежащий углу 60°. АС - катет, противолежащий углу 30°.
27. По свойству прямоугольного треугольника: AC = 2 * СК.
28. Также, в треугольнике АВС: ∠C = 90°, ∠A = 60°, ∠B = 30°.
29. ВС - катет, противолежащий углу 60°. АС - катет, противолежащий углу 30°.
30. По свойству прямоугольного треугольника: AC = BC / √3.
31. У нас есть ВК = 12 см. BC = BK + CK.
32. Подставим AC из первого уравнения во второе: 2 * СК = (12 + СК) / √3
33. 2√3 * СК = 12 + СК
34. 2√3 * СК - СК = 12
35. СК * (2√3 - 1) = 12
36. СК = 12 / (2√3 - 1)
37. СК = 12 * (2√3 + 1) / ((2√3 - 1)(2√3 + 1))
38. СК = 12 * (2√3 + 1) / ((2√3)² - 1²)
39. СК = 12 * (2√3 + 1) / (12 - 1)
40. СК = 12 * (2√3 + 1) / 11
41. СК = (24√3 + 12) / 11 см.

Ответ: (24√3 + 12) / 11 см.