Вариант 1. 6. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK = KC. O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы AO, AK, KD через векторы a = AB и b = AD.

Положим точку \(A\) началом отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=a\), \(\overrightarrow{AD}=b\), а так как ABCD — ромб, это параллелограмм и \(\overrightarrow{AC}=a+b\).

1. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(a+b)\).
2. Так как \(K\) — середина \(BC\), то \(\overrightarrow{BK}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12b\). Следовательно, \(\overrightarrow{AK}=a+\frac12b\).
3. Из \(\overrightarrow{AD}=b\) и \(\overrightarrow{AK}=a+\frac12b\) получаем \(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}=\frac12b-a\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12(a+b),\quad \overrightarrow{AK}=a+\frac12b,\quad \overrightarrow{KD}=\frac12b-a\).