Вариант 1. Отрезок MN длины b разделён точками K и L на три отрезка MK, KL и LN так, что MK = 3KL = 3LN. Найдите расстояние между: а) точкой M и серединой отрезка LN; б) серединами отрезков MK и LN.

Пусть KL = LN = x. Из условия MK = 3KL, поэтому MK = 3x. Тогда \(MN = 3x + x + x = 5x = b\), откуда \(x = \frac{b}{5}\).

Расположим точки в порядке M, K, L, N. Тогда от M до L — \(4x\), а от M до N — \(5x\).

а) Середина LN находится на расстоянии \(4x + \frac{x}{2} = \frac{9x}{2}\) от M. Подставим \(x = \frac{b}{5}\): \(\frac{9x}{2} = \frac{9b}{10}\).

б) Середина MK находится на расстоянии \(\frac{3x}{2}\) от M, а середина LN — на расстоянии \(\frac{9x}{2}\) от M. Расстояние между ними: \(\frac{9x}{2} - \frac{3x}{2} = 3x = \frac{3b}{5}\).

Ответ: а) \(\frac{9b}{10}\); б) \(\frac{3b}{5}\).