Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Вариант 1. Решите неравенства: 1) \((\sqrt3)^x>\frac1{27}\); 2) \(3^{2x+4}>3^{x+2}\); 3) \(9^{x^2+x-14}\ge\frac1{81}\); 4)…Фото задания

Ответ:

  1. Запишем обе части с основанием 3: \(3^{x/2}>3^{-3}\). Поскольку \(3>1\), сравниваем показатели: \(x/2>-3\), поэтому \(x>-6\).

  2. Основание 3 больше 1, значит, \(2x+4>x+2\). Отсюда \(x>-2\).

  3. Переходим к основанию 3: \(3^{2(x^2+x-14)}\ge3^{-4}\). Тогда \(x^2+x-12\ge0\), или \((x+4)(x-3)\ge0\). Значит, \(x\le-4\) или \(x\ge3\).

  4. Положим \(t=2^x>0\). Получаем \(t^2+8t+\frac t4<52\), то есть \(4t^2+33t-208<0\). Положительный корень соответствующего квадратного трёхчлена равен \(\frac{\sqrt{4417}-33}{8}\); второй корень отрицательный. Поэтому \(0

  5. Положим \(t=6^x>0\). Тогда \(t^2-5t-6\le0\), или \((t-6)(t+1)\le0\). С учётом \(t>0\) получаем \(t\le6\), следовательно, \(x\le1\).

Ответ: 1) \(x>-6\); 2) \(x>-2\); 3) \(x\in(-\infty,-4]\cup[3,+\infty)\); 4) \(x<\log_2\frac{\sqrt{4417}-33}{8}\); 5) \(x\le1\).