Вариант 2. Решите неравенства: 1) $(\sqrt2)^x>\frac1{64}$; 2) $(\frac17)^{4x+16}\ge(\frac17)^{-x+6}$; 3) $3^{x^2-4x+9}<27$; 4) $16^x-4^{x+2}+4^x+4^{x-2}\le17$; 5) $5^{2x}-4\cdot5^x>5$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. Решите неравенства: 1) $(\sqrt2)^x>\frac1{64}$; 2) $(\frac17)^{4x+16}\ge(\frac17)^{-x+6}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Представим обе части как степени двойки: $2^{x/2}>2^{-6}$. Так как основание больше 1, $x/2>-6$, откуда $x>-12$.
Основание $\frac17$ лежит между 0 и 1, поэтому при сравнении показателей знак меняется: $4x+16\le-x+6$. Отсюда $x\le-2$.
Так как $27=3^3$, неравенство равносильно $x^2-4x+6<0$. Дискриминант этого трёхчлена равен $16-24=-8<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому трёхчлен всегда положителен. Решений нет.
Положим $t=4^x>0$. Тогда $16^x=t^2$, и неравенство принимает вид $t^2-16t+t+\frac t{16}\le17$. Умножая на 16, получаем $16t^2-239t-272\le0$, то есть $(t-16)(16t+17)\le0$. С учётом $t>0$ имеем $t\le16$, следовательно, $x\le2$.
Пусть $t=5^x>0$. Тогда $t^2-4t-5>0$, или $(t-5)(t+1)>0$. При $t>0$ это даёт $t>5$, поэтому $x>1$.

Ответ: 1) $x>-12$; 2) $x\le-2$; 3) решений нет; 4) $x\le2$; 5) $x>1$.

Вариант 2. Решите неравенства: 1) \((\sqrt2)^x>\frac1{64}\); 2) \((\frac17)^{4x+16}\ge(\frac17)^{-x+6}\); 3) \(3^{x^2-4x+9}<27\); 4) \(16^x-4^{x+2}+4^x+4^{x-2}\le17\); 5) \(5^{2x}-4\cdot5^x>5\).