Вариант 2. Решите уравнения: 1) $3^{5x+7}=\frac1{27}$; 2) $3^{x^2-9x+10}=9$; 3) $2^{2x}+2^{x+1}-2^x=10$; 4) $2^{x^2+7x+12}=5^{x^2+7x+12}$; 5) $2^{2x}-6\cdot2^x=-4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. Решите уравнения: 1) $3^{5x+7}=\frac1{27}$; 2) $3^{x^2-9x+10}=9$; 3) $2^{2x}+2^{x+1}-2^x=10$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $\frac1{27}=3^{-3}$, приравниваем показатели: $5x+7=-3$. Отсюда $x=-2$.
Так как $9=3^2$, получаем $x^2-9x+10=2$, то есть $x^2-9x+8=0$. Разложение: $(x-1)(x-8)=0$, поэтому $x=1$ или $x=8$.
Пусть $t=2^x>0$. Тогда $t^2+2t-t=10$, то есть $t^2+t-10=0$. Положительный корень: $t=\frac{\sqrt{41}-1}{2}$. Следовательно, $x=\log_2\frac{\sqrt{41}-1}{2}$.
Обозначим общий показатель через $t=x^2+7x+12$. Из $2^t=5^t$ следует $(\frac25)^t=1$, значит, $t=0$. Решаем $(x+3)(x+4)=0$: $x=-3$ или $x=-4$.
Пусть $t=2^x>0$. Тогда $t^2-6t=-4$, или $t^2-6t+4=0$. Получаем $t=3\pm\sqrt5$; оба значения положительны. Поэтому $x=\log_2(3-\sqrt5)$ или $x=\log_2(3+\sqrt5)$.

Ответ: 1) $-2$; 2) $1, 8$; 3) $\log_2\frac{\sqrt{41}-1}{2}$; 4) $-4, -3$; 5) $\log_2(3-\sqrt5),\ \log_2(3+\sqrt5)$.

Вариант 2. Решите уравнения: 1) \(3^{5x+7}=\frac1{27}\); 2) \(3^{x^2-9x+10}=9\); 3) \(2^{2x}+2^{x+1}-2^x=10\); 4) \(2^{x^2+7x+12}=5^{x^2+7x+12}\); 5) \(2^{2x}-6\cdot2^x=-4\).