Вариант 1. Решите уравнения: 1) $2^{2x+3}=32$; 2) $4^{3x^2-10x-6}=16$; 3) $3^{x+1}+3\cdot3^{x-2}=27$; 4) $7^{-x^2+8x+20}=4^{-x^2+8x+20}$; 5) $3^{2x}-4\cdot3^x+2=-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. Решите уравнения: 1) $2^{2x+3}=32$; 2) $4^{3x^2-10x-6}=16$; 3) $3^{x+1}+3\cdot3^{x-2}=27$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $32=2^5$, приравниваем показатели: $2x+3=5$, откуда $x=1$.
Так как $16=4^2$, получаем $3x^2-10x-6=2$, то есть $3x^2-10x-8=0$. Корни: $x=4$ и $x=-\frac23$.
Вынесем общую степень: $3^{x+1}=27\cdot3^{x-2}$, поэтому $30\cdot3^{x-2}=27$. Тогда $3^{x-2}=\frac9{10}$, откуда $x=2+\log_3\frac9{10}$.
Обозначим общий показатель через $t=-x^2+8x+20$. Из $7^t=4^t$ следует $(\frac74)^t=1$, значит, $t=0$. Решаем $-x^2+8x+20=0$: $x^2-8x-20=0$, откуда $x=-2$ или $x=10$.
Пусть $t=3^x>0$. Тогда $t^2-4t+2=-1$, то есть $(t-1)(t-3)=0$. Следовательно, $t=1$ или $t=3$, и $x=0$ или $x=1$.

Ответ: 1) $1$; 2) $4, -\frac23$; 3) $2+\log_3\frac9{10}$; 4) $-2, 10$; 5) $0, 1$.

Вариант 1. Решите уравнения: 1) \(2^{2x+3}=32\); 2) \(4^{3x^2-10x-6}=16\); 3) \(3^{x+1}+3\cdot3^{x-2}=27\); 4) \(7^{-x^2+8x+20}=4^{-x^2+8x+20}\); 5) \(3^{2x}-4\cdot3^x+2=-1\).