Вариант 1. Вычислить производную следующих функций: 1. y = √3; 2. y = 3x⁸ - 7x - 2,5; 3. y = e²ˣ + x²; 4. y = e²ˣ⁺² + 2x²; 5. y = 2ˣ - x²; 6. y = 2lnx + 3ˣ; 7. y = sin x - 2; 8. y = (x² + x) (x³ - x); 9. y = (x³ + 1) / (x + 1); 10. При каких значениях x значение производной функции y = 2x³ - 3x² - 12x + 1 равно 0?

Вариант 1

Вычислить производную следующих функций:

1. 
   

   Производная константы равна 0.

   
   

   Ответ:
   0

   
   
2. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (axⁿ)' = anxⁿ⁻¹,
   (c)' = 0.

   
   

   
   (3x⁸ - 7x - 2.5)' = 3 * 8x⁷ - 7 * 1 - 0 = 24x⁷ - 7

   
   

   Ответ:
   24x⁷ - 7

   
   
3. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (eᵘ)' = eᵘ * u',
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (e²ˣ + x²)' = e²ˣ * (2x)' + 2x = e²ˣ * 2 + 2x = 2e²ˣ + 2x

   
   

   Ответ:
   2e²ˣ + 2x

   
   
4. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (eᵘ)' = eᵘ * u',
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (e²ˣ⁺² + 2x²)' = e²ˣ⁺² * (2x + 2)' + 2 * 2x = e²ˣ⁺² * 2 + 4x = 2e²ˣ⁺² + 4x

   
   

   Ответ:
   2e²ˣ⁺² + 4x

   
   
5. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (aˣ)' = aˣ * ln(a),
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (2ˣ - x²)' = 2ˣ * ln(2) - 2x

   
   

   Ответ:
   2ˣ * ln(2) - 2x

   
   
6. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (ln x)' = 1/x,
   (aˣ)' = aˣ * ln(a).

   
   

   
   (2lnx + 3ˣ)' = 2 * (1/x) + 3ˣ * ln(3) = 2/x + 3ˣ * ln(3)

   
   

   Ответ:
   2/x + 3ˣ * ln(3)

   
   
7. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (sin x)' = cos x,
   (c)' = 0.

   
   

   
   (sin x - 2)' = cos x - 0 = cos x

   
   

   Ответ:
   cos x

   
   
8. 
   

   Используем правило произведения:
   (uv)' = u'v + uv'.

   
   

   Пусть
   u = x² + x,
   v = x³ - x.

   
   

   
   u' = 2x + 1

   
   

   
   v' = 3x² - 1

   
   

   
   (u'v + uv') = (2x + 1)(x³ - x) + (x² + x)(3x² - 1)

   
   

   
   = 2x⁴ - 2x² + x³ - x + 3x⁴ - x² + 3x³ - x

   
   

   
   = 5x⁴ + 4x³ - 3x² - 2x

   
   

   Ответ:
   5x⁴ + 4x³ - 3x² - 2x

   
   
9. 
   

   Упростим функцию:
   y = (x³ + 1) / (x + 1). Заметим, что
   x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1). Тогда
   y = x² - x + 1.

   
   

   
   y' = (x² - x + 1)' = 2x - 1

   
   

   Ответ:
   2x - 1

   
   
10. 
    

    Найдем производную функции
    y = 2x³ - 3x² - 12x + 1.

    
    

    
    y' = (2x³ - 3x² - 12x + 1)' = 2 * 3x² - 3 * 2x - 12 = 6x² - 6x - 12

    
    

    Приравняем производную к нулю:
    6x² - 6x - 12 = 0.

    
    

    Разделим на 6:
    x² - x - 2 = 0.

    
    

    Решим квадратное уравнение. Дискриминант
    D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

    
    

    
    x₁ = (1 + √9) / (2 * 1) = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

    
    

    
    x₂ = (1 - √9) / (2 * 1) = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

    
    

    Ответ:
    x = 2 и
    x = -1