Вариант 4. Вычислить производную следующих функций: 1. y = √7; 2. y = 2x¹⁰ - 8x - 13; 3. y = e⁴ˣ + x²; 4. y = e³ˣ⁺¹ + 2x⁴; 5. y = 4ˣ - x⁻⁴; 6. y = 3lnx + 4ˣ; 7. y = sin x + 1; 8. y = (x² - x) (x³ - 2); 9. y = (x³ + 2) / (x + 1); 10. При каких значениях x значение производной функции y = 2x³ - 3x² - 12x + 1 равно 0?

Вариант 4

Вычислить производную следующих функций:

1. 
   

   Производная константы равна 0.

   
   

   Ответ:
   0

   
   
2. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (axⁿ)' = anxⁿ⁻¹,
   (c)' = 0.

   
   

   
   (2x¹⁰ - 8x - 13)' = 2 * 10x⁹ - 8 * 1 - 0 = 20x⁹ - 8

   
   

   Ответ:
   20x⁹ - 8

   
   
3. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (eᵘ)' = eᵘ * u',
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (e⁴ˣ + x²)' = e⁴ˣ * (4x)' + 2x = e⁴ˣ * 4 + 2x = 4e⁴ˣ + 2x

   
   

   Ответ:
   4e⁴ˣ + 2x

   
   
4. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (eᵘ)' = eᵘ * u',
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (e³ˣ⁺¹ + 2x⁴)' = e³ˣ⁺¹ * (3x + 1)' + 2 * 4x³ = e³ˣ⁺¹ * 3 + 8x³ = 3e³ˣ⁺¹ + 8x³

   
   

   Ответ:
   3e³ˣ⁺¹ + 8x³

   
   
5. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (aˣ)' = aˣ * ln(a),
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (4ˣ - x⁻⁴)' = 4ˣ * ln(4) - (-4x⁻⁵) = 4ˣ * ln(4) + 4x⁻⁵

   
   

   Ответ:
   4ˣ * ln(4) + 4x⁻⁵

   
   
6. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (ln x)' = 1/x,
   (aˣ)' = aˣ * ln(a).

   
   

   
   (3lnx + 4ˣ)' = 3 * (1/x) + 4ˣ * ln(4) = 3/x + 4ˣ * ln(4)

   
   

   Ответ:
   3/x + 4ˣ * ln(4)

   
   
7. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (sin x)' = cos x,
   (c)' = 0.

   
   

   
   (sin x + 1)' = cos x + 0 = cos x

   
   

   Ответ:
   cos x

   
   
8. 
   

   Используем правило произведения:
   (uv)' = u'v + uv'.

   
   

   Пусть
   u = x² - x,
   v = x³ - 2.

   
   

   
   u' = 2x - 1

   
   

   
   v' = 3x²

   
   

   
   (u'v + uv') = (2x - 1)(x³ - 2) + (x² - x)(3x²)

   
   

   
   = 2x⁴ - 4x - x³ + 2 + 3x⁴ - 3x³

   
   

   
   = 5x⁴ - 4x³ - 4x + 2

   
   

   Ответ:
   5x⁴ - 4x³ - 4x + 2

   
   
9. 
   

   Воспользуемся правилом дифференцирования частного:
   (u/v)' = (u'v - uv') / v².

   
   

   Пусть
   u = x³ + 2,
   v = x + 1.

   
   

   
   u' = 3x²

   
   

   
   v' = 1

   
   

   
   y' = (3x² * (x + 1) - (x³ + 2) * 1) / (x + 1)²

   
   

   
   = (3x³ + 3x² - x³ - 2) / (x + 1)²

   
   

   
   = (2x³ + 3x² - 2) / (x + 1)²

   
   

   Ответ:
   (2x³ + 3x² - 2) / (x + 1)²

   
   
10. 
    

    Найдем производную функции
    y = 2x³ - 3x² - 12x + 1.

    
    

    
    y' = (2x³ - 3x² - 12x + 1)' = 2 * 3x² - 3 * 2x - 12 = 6x² - 6x - 12

    
    

    Приравняем производную к нулю:
    6x² - 6x - 12 = 0.

    
    

    Разделим на 6:
    x² - x - 2 = 0.

    
    

    Решим квадратное уравнение. Дискриминант
    D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

    
    

    
    x₁ = (1 + √9) / (2 * 1) = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

    
    

    
    x₂ = (1 - √9) / (2 * 1) = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

    
    

    Ответ:
    x = 2 и
    x = -1