Вариант 3. Вычислить производную следующих функций: 1. y = √8; 2. y = 6x³ - 7x - 1,5; 3. y = e³ˣ + x³; 4. y = e⁴ˣ⁺¹ + 4x³; 5. y = 3ˣ - x⁻³; 6. y = 4lnx + 3ˣ; 7. y = sin x - 3; 8. y = (x² + 2) (x³ - x); 9. y = (x³ + 1) / (x + 2); 10. При каких значениях x значение производной функции y = 2x³ - 3x² - 12x + 1 равно 0?

Вариант 3

Вычислить производную следующих функций:

1. 
   

   Производная константы равна 0.

   
   

   Ответ:
   0

   
   
2. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (axⁿ)' = anxⁿ⁻¹,
   (c)' = 0.

   
   

   
   (6x³ - 7x - 1.5)' = 6 * 3x² - 7 * 1 - 0 = 18x² - 7

   
   

   Ответ:
   18x² - 7

   
   
3. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (eᵘ)' = eᵘ * u',
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (e³ˣ + x³)' = e³ˣ * (3x)' + 3x² = e³ˣ * 3 + 3x² = 3e³ˣ + 3x²

   
   

   Ответ:
   3e³ˣ + 3x²

   
   
4. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (eᵘ)' = eᵘ * u',
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (e⁴ˣ⁺¹ + 4x³)' = e⁴ˣ⁺¹ * (4x + 1)' + 4 * 3x² = e⁴ˣ⁺¹ * 4 + 12x² = 4e⁴ˣ⁺¹ + 12x²

   
   

   Ответ:
   4e⁴ˣ⁺¹ + 12x²

   
   
5. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (aˣ)' = aˣ * ln(a),
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (3ˣ - x⁻³)' = 3ˣ * ln(3) - (-3x⁻⁴) = 3ˣ * ln(3) + 3x⁻⁴

   
   

   Ответ:
   3ˣ * ln(3) + 3x⁻⁴

   
   
6. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (ln x)' = 1/x,
   (aˣ)' = aˣ * ln(a).

   
   

   
   (4lnx + 3ˣ)' = 4 * (1/x) + 3ˣ * ln(3) = 4/x + 3ˣ * ln(3)

   
   

   Ответ:
   4/x + 3ˣ * ln(3)

   
   
7. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (sin x)' = cos x,
   (c)' = 0.

   
   

   
   (sin x - 3)' = cos x - 0 = cos x

   
   

   Ответ:
   cos x

   
   
8. 
   

   Используем правило произведения:
   (uv)' = u'v + uv'.

   
   

   Пусть
   u = x² + 2,
   v = x³ - x.

   
   

   
   u' = 2x

   
   

   
   v' = 3x² - 1

   
   

   
   (u'v + uv') = (2x)(x³ - x) + (x² + 2)(3x² - 1)

   
   

   
   = 2x⁴ - 2x² + 3x⁴ - x² + 6x² - 2

   
   

   
   = 5x⁴ + 3x² - 2

   
   

   Ответ:
   5x⁴ + 3x² - 2

   
   
9. 
   

   Воспользуемся правилом дифференцирования частного:
   (u/v)' = (u'v - uv') / v².

   
   

   Пусть
   u = x³ + 1,
   v = x + 2.

   
   

   
   u' = 3x²

   
   

   
   v' = 1

   
   

   
   y' = (3x² * (x + 2) - (x³ + 1) * 1) / (x + 2)²

   
   

   
   = (3x³ + 6x² - x³ - 1) / (x + 2)²

   
   

   
   = (2x³ + 6x² - 1) / (x + 2)²

   
   

   Ответ:
   (2x³ + 6x² - 1) / (x + 2)²

   
   
10. 
    

    Найдем производную функции
    y = 2x³ - 3x² - 12x + 1.

    
    

    
    y' = (2x³ - 3x² - 12x + 1)' = 2 * 3x² - 3 * 2x - 12 = 6x² - 6x - 12

    
    

    Приравняем производную к нулю:
    6x² - 6x - 12 = 0.

    
    

    Разделим на 6:
    x² - x - 2 = 0.

    
    

    Решим квадратное уравнение. Дискриминант
    D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

    
    

    
    x₁ = (1 + √9) / (2 * 1) = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

    
    

    
    x₂ = (1 - √9) / (2 * 1) = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

    
    

    Ответ:
    x = 2 и
    x = -1