Вариант 2. Вычислить производную следующих функций: 1. y = √5; 2. y = 5x⁶ - 2x - 4,5; 3. y = e³ˣ + x³; 4. y = e³ˣ⁺¹ + 3x³; 5. y = 10ˣ - x²; 6. y = 3lnx + 2ˣ; 7. y = sin x - 1; 8. y = (x² - x) (x³ + x); 9. y = (x² + 1) / (x + 1); 10. При каких значениях x значение производной функции y = 2x³ - 3x² - 12x + 1 равно 0?

Вариант 2

Вычислить производную следующих функций:

1. 
   

   Производная константы равна 0.

   
   

   Ответ:
   0

   
   
2. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (axⁿ)' = anxⁿ⁻¹,
   (c)' = 0.

   
   

   
   (5x⁶ - 2x - 4.5)' = 5 * 6x⁵ - 2 * 1 - 0 = 30x⁵ - 2

   
   

   Ответ:
   30x⁵ - 2

   
   
3. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (eᵘ)' = eᵘ * u',
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (e³ˣ + x³)' = e³ˣ * (3x)' + 3x² = e³ˣ * 3 + 3x² = 3e³ˣ + 3x²

   
   

   Ответ:
   3e³ˣ + 3x²

   
   
4. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (eᵘ)' = eᵘ * u',
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (e³ˣ⁺¹ + 3x³)' = e³ˣ⁺¹ * (3x + 1)' + 3 * 3x² = e³ˣ⁺¹ * 3 + 9x² = 3e³ˣ⁺¹ + 9x²

   
   

   Ответ:
   3e³ˣ⁺¹ + 9x²

   
   
5. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (aˣ)' = aˣ * ln(a),
   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.

   
   

   
   (10ˣ - x²)' = 10ˣ * ln(10) - 2x

   
   

   Ответ:
   10ˣ * ln(10) - 2x

   
   
6. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (ln x)' = 1/x,
   (aˣ)' = aˣ * ln(a).

   
   

   
   (3lnx + 2ˣ)' = 3 * (1/x) + 2ˣ * ln(2) = 3/x + 2ˣ * ln(2)

   
   

   Ответ:
   3/x + 2ˣ * ln(2)

   
   
7. 
   

   Используем правила дифференцирования:
   (sin x)' = cos x,
   (c)' = 0.

   
   

   
   (sin x - 1)' = cos x - 0 = cos x

   
   

   Ответ:
   cos x

   
   
8. 
   

   Используем правило произведения:
   (uv)' = u'v + uv'.

   
   

   Пусть
   u = x² - x,
   v = x³ + x.

   
   

   
   u' = 2x - 1

   
   

   
   v' = 3x² + 1

   
   

   
   (u'v + uv') = (2x - 1)(x³ + x) + (x² - x)(3x² + 1)

   
   

   
   = 2x⁴ + 2x² - x³ - x + 3x⁴ + x² - 3x³ - x

   
   

   
   = 5x⁴ - 4x³ + 3x² - 2x

   
   

   Ответ:
   5x⁴ - 4x³ + 3x² - 2x

   
   
9. 
   

   Упростим функцию:
   y = (x² + 1) / (x + 1). Воспользуемся правилом дифференцирования частного:
   (u/v)' = (u'v - uv') / v².

   
   

   Пусть
   u = x² + 1,
   v = x + 1.

   
   

   
   u' = 2x

   
   

   
   v' = 1

   
   

   
   y' = (2x * (x + 1) - (x² + 1) * 1) / (x + 1)²

   
   

   
   = (2x² + 2x - x² - 1) / (x + 1)²

   
   

   
   = (x² + 2x - 1) / (x + 1)²

   
   

   Ответ:
   (x² + 2x - 1) / (x + 1)²

   
   
10. 
    

    Найдем производную функции
    y = 2x³ - 3x² - 12x + 1.

    
    

    
    y' = (2x³ - 3x² - 12x + 1)' = 2 * 3x² - 3 * 2x - 12 = 6x² - 6x - 12

    
    

    Приравняем производную к нулю:
    6x² - 6x - 12 = 0.

    
    

    Разделим на 6:
    x² - x - 2 = 0.

    
    

    Решим квадратное уравнение. Дискриминант
    D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

    
    

    
    x₁ = (1 + √9) / (2 * 1) = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

    
    

    
    x₂ = (1 - √9) / (2 * 1) = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

    
    

    Ответ:
    x = 2 и
    x = -1