Вариант 1: Вычислить производную следующих функций: 1. y = √3 2. y=3x^8-7x-2,5 3. y = e^(2x) + x^2 4. y = e^(2x+2) + 2x^2 5. y = 2^x - x^-2 6. y = 2lnx + 3^x 7. y = sin x - 2 8. y = (x^2 + x) (x^3 - x) x^3 + 1 9. y = x+1 10. При каких значениях x значение производной функции y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 равно 0?

1. Производная от константы:

\[ y = \sqrt{3} \]

Производная от любой константы равна 0.

Ответ: \( y' = 0 \)

2. Производная степенной функции и константы:

\[ y = 3x^8 - 7x - 2.5 \]

1. Производная от \( 3x^8 \) равна \( 3 \times 8 x^{8-1} = 24x^7 \).
2. Производная от \( -7x \) равна \( -7 \).
3. Производная от константы \( -2.5 \) равна 0.

Ответ: \( y' = 24x^7 - 7 \)

3. Производная от суммы функций:

\[ y = e^{2x} + x^2 \]

1. Производная от \( e^{2x} \) равна \( e^{2x} \times (2x)' = 2e^{2x} \).
2. Производная от \( x^2 \) равна \( 2x^{2-1} = 2x \).

Ответ: \( y' = 2e^{2x} + 2x \)

4. Производная от суммы функций:

\[ y = e^{2x+2} + 2x^2 \]

1. Производная от \( e^{2x+2} \) равна \( e^{2x+2} \times (2x+2)' = 2e^{2x+2} \).
2. Производная от \( 2x^2 \) равна \( 2 \times 2 x^{2-1} = 4x \).

Ответ: \( y' = 2e^{2x+2} + 4x \)

5. Производная от показательной и степенной функций:

\[ y = 2^x - x^{-2} \]

1. Производная от \( 2^x \) равна \( 2^x \text{ln}(2) \).
2. Производная от \( -x^{-2} \) равна \( -(-2)x^{-2-1} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3} \).

Ответ: \( y' = 2^x \text{ln}(2) + \frac{2}{x^3} \)

6. Производная от суммы логарифмической и показательной функций:

\[ y = 2\text{ln}x + 3^x \]

1. Производная от \( 2\text{ln}x \) равна \( 2 \times \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \).
2. Производная от \( 3^x \) равна \( 3^x \text{ln}(3) \).

Ответ: \( y' = \frac{2}{x} + 3^x \text{ln}(3) \)

7. Производная от тригонометрической функции и константы:

\[ y = \text{sin} x - 2 \]

1. Производная от \( \text{sin} x \) равна \( \text{cos} x \).
2. Производная от константы \( -2 \) равна 0.

Ответ: \( y' = \text{cos} x \)

8. Производная произведения:

\[ y = (x^2 + x)(x^3 - x) \]

Сначала раскроем скобки:

\[ y = x^2(x^3 - x) + x(x^3 - x) = x^5 - x^3 + x^4 - x^2 \]

Теперь найдем производную:

\[ y' = 5x^4 - 3x^2 + 4x^3 - 2x \]

Ответ: \( y' = 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 2x \)

9. Производная дроби (используем правило дифференцирования частного):

\[ y = \frac{x^3 + 1}{x + 1} \]

Правило: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

1. \( u = x^3 + 1 \), \( u' = 3x^2 \)
2. \( v = x + 1 \), \( v' = 1 \)

\[ y' = \frac{(3x^2)(x+1) - (x^3+1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3x^3 + 3x^2 - x^3 - 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^3 + 3x^2 - 1}{(x+1)^2} \]

Ответ: \( y' = \frac{2x^3 + 3x^2 - 1}{(x+1)^2} \)

10. Нахождение значений x, при которых производная равна 0:

\[ y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \]

Сначала найдем производную функции:

\[ y' = 2 \times 3x^2 - 3 \times 2x - 12 \]

\[ y' = 6x^2 - 6x - 12 \]

Теперь приравняем производную к 0:

\[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]

Разделим все на 6:

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \) и \( x_1 x_2 = -2 \). Подбираем корни: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \).

Ответ: \( x = 2 \) и \( x = -1 \)