Вариант 2: Вычислить производную следующих функций: 1. y = √5 2. y = 5x^-2x-4,5 3. y = e^(3x) + x^3 4. y = e^(3x+1) + 3x^3 5. y = 10^x - x^-2 6. y = 3lnx + 2^x 7. y = sin x - 1 8. y = (x^2 - x) (x^3 + x) x^2 + 1 9. y = x+1 10. При каких значениях x значение производной функции y = 2x^2 - 3x^2 - 12x + 1 равно 0?

1. Производная от константы:

\[ y = \sqrt{5} \]

Производная от любой константы равна 0.

Ответ: \( y' = 0 \)

2. Производная степенной функции и константы:

\[ y = 5x^{-2} - x - 4.5 \]

1. Производная от \( 5x^{-2} \) равна \( 5 \times (-2) x^{-2-1} = -10x^{-3} = -\frac{10}{x^3} \).
2. Производная от \( -x \) равна \( -1 \).
3. Производная от константы \( -4.5 \) равна 0.

Ответ: \( y' = -\frac{10}{x^3} - 1 \)

3. Производная от суммы функций:

\[ y = e^{3x} + x^3 \]

1. Производная от \( e^{3x} \) равна \( e^{3x} \times (3x)' = 3e^{3x} \).
2. Производная от \( x^3 \) равна \( 3x^{3-1} = 3x^2 \).

Ответ: \( y' = 3e^{3x} + 3x^2 \)

4. Производная от суммы функций:

\[ y = e^{3x+1} + 3x^3 \]

1. Производная от \( e^{3x+1} \) равна \( e^{3x+1} \times (3x+1)' = 3e^{3x+1} \).
2. Производная от \( 3x^3 \) равна \( 3 \times 3 x^{3-1} = 9x^2 \).

Ответ: \( y' = 3e^{3x+1} + 9x^2 \)

5. Производная от показательной и степенной функций:

\[ y = 10^x - x^{-2} \]

1. Производная от \( 10^x \) равна \( 10^x \text{ln}(10) \).
2. Производная от \( -x^{-2} \) равна \( -(-2)x^{-2-1} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3} \).

Ответ: \( y' = 10^x \text{ln}(10) + \frac{2}{x^3} \)

6. Производная от суммы логарифмической и показательной функций:

\[ y = 3\text{ln}x + 2^x \]

1. Производная от \( 3\text{ln}x \) равна \( 3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \).
2. Производная от \( 2^x \) равна \( 2^x \text{ln}(2) \).

Ответ: \( y' = \frac{3}{x} + 2^x \text{ln}(2) \)

7. Производная от тригонометрической функции и константы:

\[ y = \text{sin} x - 1 \]

1. Производная от \( \text{sin} x \) равна \( \text{cos} x \).
2. Производная от константы \( -1 \) равна 0.

Ответ: \( y' = \text{cos} x \)

8. Производная произведения:

\[ y = (x^2 - x) (x^3 + x) \]

Сначала раскроем скобки:

\[ y = x^2(x^3 + x) - x(x^3 + x) = x^5 + x^3 - x^4 - x^2 \]

Теперь найдем производную:

\[ y' = 5x^4 + 3x^2 - 4x^3 - 2x \]

Ответ: \( y' = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x \)

9. Производная дроби (используем правило дифференцирования частного):

\[ y = \frac{x^2 + 1}{x + 1} \]

Правило: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

1. \( u = x^2 + 1 \), \( u' = 2x \)
2. \( v = x + 1 \), \( v' = 1 \)

\[ y' = \frac{(2x)(x+1) - (x^2+1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x+1)^2} \]

Ответ: \( y' = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x+1)^2} \)

10. Нахождение значений x, при которых производная равна 0:

\[ y = 2x^2 - 3x^2 - 12x + 1 \]

Упростим функцию:

\[ y = -x^2 - 12x + 1 \]

Теперь найдем производную функции:

\[ y' = -2x - 12 \]

Приравняем производную к 0:

\[ -2x - 12 = 0 \]

\[ -2x = 12 \]

\[ x = \frac{12}{-2} \]

\[ x = -6 \]

Ответ: \( x = -6 \)