Вариант 3: Вычислить производную следующих функций: 1. y = √8 2. y = 6x^9-7x-1,5 3. y = e^(3x) + x^3 4. y = e^(4x+1) + 4x^3 5. y = 3^x - x^-3 6. y = 4lnx + 3^x 7. y = sin x - 3 8. y = (x^2 + 2) (x^3 - x) x^3 + 1 9. y = x+2 10. При каких значениях x значение производной функции y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 равно 0?

1. Производная от константы:

\[ y = \sqrt{8} \]

Производная от любой константы равна 0.

Ответ: \( y' = 0 \)

2. Производная степенной функции и константы:

\[ y = 6x^9 - 7x - 1.5 \]

1. Производная от \( 6x^9 \) равна \( 6 \times 9 x^{9-1} = 54x^8 \).
2. Производная от \( -7x \) равна \( -7 \).
3. Производная от константы \( -1.5 \) равна 0.

Ответ: \( y' = 54x^8 - 7 \)

3. Производная от суммы функций:

\[ y = e^{3x} + x^3 \]

1. Производная от \( e^{3x} \) равна \( e^{3x} \times (3x)' = 3e^{3x} \).
2. Производная от \( x^3 \) равна \( 3x^{3-1} = 3x^2 \).

Ответ: \( y' = 3e^{3x} + 3x^2 \)

4. Производная от суммы функций:

\[ y = e^{4x+1} + 4x^3 \]

1. Производная от \( e^{4x+1} \) равна \( e^{4x+1} \times (4x+1)' = 4e^{4x+1} \).
2. Производная от \( 4x^3 \) равна \( 4 \times 3 x^{3-1} = 12x^2 \).

Ответ: \( y' = 4e^{4x+1} + 12x^2 \)

5. Производная от показательной и степенной функций:

\[ y = 3^x - x^{-3} \]

1. Производная от \( 3^x \) равна \( 3^x \text{ln}(3) \).
2. Производная от \( -x^{-3} \) равна \( -(-3)x^{-3-1} = 3x^{-4} = \frac{3}{x^4} \).

Ответ: \( y' = 3^x \text{ln}(3) + \frac{3}{x^4} \)

6. Производная от суммы логарифмической и показательной функций:

\[ y = 4\text{ln}x + 3^x \]

1. Производная от \( 4\text{ln}x \) равна \( 4 \times \frac{1}{x} = \frac{4}{x} \).
2. Производная от \( 3^x \) равна \( 3^x \text{ln}(3) \).

Ответ: \( y' = \frac{4}{x} + 3^x \text{ln}(3) \)

7. Производная от тригонометрической функции и константы:

\[ y = \text{sin} x - 3 \]

1. Производная от \( \text{sin} x \) равна \( \text{cos} x \).
2. Производная от константы \( -3 \) равна 0.

Ответ: \( y' = \text{cos} x \)

8. Производная произведения:

\[ y = (x^2 + 2) (x^3 - x) \]

Сначала раскроем скобки:

\[ y = x^2(x^3 - x) + 2(x^3 - x) = x^5 - x^3 + 2x^3 - 2x = x^5 + x^3 - 2x \]

Теперь найдем производную:

\[ y' = 5x^4 + 3x^2 - 2 \]

Ответ: \( y' = 5x^4 + 3x^2 - 2 \)

9. Производная дроби (используем правило дифференцирования частного):

\[ y = \frac{x^3 + 1}{x + 2} \]

Правило: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

1. \( u = x^3 + 1 \), \( u' = 3x^2 \)
2. \( v = x + 2 \), \( v' = 1 \)

\[ y' = \frac{(3x^2)(x+2) - (x^3+1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{3x^3 + 6x^2 - x^3 - 1}{(x+2)^2} = \frac{2x^3 + 6x^2 - 1}{(x+2)^2} \]

Ответ: \( y' = \frac{2x^3 + 6x^2 - 1}{(x+2)^2} \)

10. Нахождение значений x, при которых производная равна 0:

\[ y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \]

Сначала найдем производную функции:

\[ y' = 2 \times 3x^2 - 3 \times 2x - 12 \]

\[ y' = 6x^2 - 6x - 12 \]

Теперь приравняем производную к 0:

\[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]

Разделим все на 6:

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \) и \( x_1 x_2 = -2 \). Подбираем корни: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \).

Ответ: \( x = 2 \) и \( x = -1 \)