Вариант 4: Вычислить производную следующих функций: 1. y = √7 2. y = 2x^10-8x-13 3. y = e^x + x^4 4. y = e^(3x+1) + 2x^4 5. y = 4^x - x^-4 6. y = 3lnx + 4^x 7. y = sin x + 1 8. y = (x^2 - x) (x^3 - 2) x^3 + 2 9. y = x+1 10. При каких значениях x значение производной функции y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 равно 0?

1. Производная от константы:

\[ y = \sqrt{7} \]

Производная от любой константы равна 0.

Ответ: \( y' = 0 \)

2. Производная степенной функции и константы:

\[ y = 2x^{10} - 8x - 13 \]

1. Производная от \( 2x^{10} \) равна \( 2 \times 10 x^{10-1} = 20x^9 \).
2. Производная от \( -8x \) равна \( -8 \).
3. Производная от константы \( -13 \) равна 0.

Ответ: \( y' = 20x^9 - 8 \)

3. Производная от суммы функций:

\[ y = e^x + x^4 \]

1. Производная от \( e^x \) равна \( e^x \).
2. Производная от \( x^4 \) равна \( 4x^{4-1} = 4x^3 \).

Ответ: \( y' = e^x + 4x^3 \)

4. Производная от суммы функций:

\[ y = e^{3x+1} + 2x^4 \]

1. Производная от \( e^{3x+1} \) равна \( e^{3x+1} \times (3x+1)' = 3e^{3x+1} \).
2. Производная от \( 2x^4 \) равна \( 2 \times 4 x^{4-1} = 8x^3 \).

Ответ: \( y' = 3e^{3x+1} + 8x^3 \)

5. Производная от показательной и степенной функций:

\[ y = 4^x - x^{-4} \]

1. Производная от \( 4^x \) равна \( 4^x \text{ln}(4) \).
2. Производная от \( -x^{-4} \) равна \( -(-4)x^{-4-1} = 4x^{-5} = \frac{4}{x^5} \).

Ответ: \( y' = 4^x \text{ln}(4) + \frac{4}{x^5} \)

6. Производная от суммы логарифмической и показательной функций:

\[ y = 3\text{ln}x + 4^x \]

1. Производная от \( 3\text{ln}x \) равна \( 3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \).
2. Производная от \( 4^x \) равна \( 4^x \text{ln}(4) \).

Ответ: \( y' = \frac{3}{x} + 4^x \text{ln}(4) \)

7. Производная от тригонометрической функции и константы:

\[ y = \text{sin} x + 1 \]

1. Производная от \( \text{sin} x \) равна \( \text{cos} x \).
2. Производная от константы \( 1 \) равна 0.

Ответ: \( y' = \text{cos} x \)

8. Производная произведения:

\[ y = (x^2 - x) (x^3 - 2) \]

Сначала раскроем скобки:

\[ y = x^2(x^3 - 2) - x(x^3 - 2) = x^5 - 2x^2 - x^4 + 2x \]

Теперь найдем производную:

\[ y' = 5x^4 - 4x^3 - 4x + 2 \]

Ответ: \( y' = 5x^4 - 4x^3 - 4x + 2 \)

9. Производная дроби (используем правило дифференцирования частного):

\[ y = \frac{x^3 + 2}{x + 1} \]

Правило: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

1. \( u = x^3 + 2 \), \( u' = 3x^2 \)
2. \( v = x + 1 \), \( v' = 1 \)

\[ y' = \frac{(3x^2)(x+1) - (x^3+2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3x^3 + 3x^2 - x^3 - 2}{(x+1)^2} = \frac{2x^3 + 3x^2 - 2}{(x+1)^2} \]

Ответ: \( y' = \frac{2x^3 + 3x^2 - 2}{(x+1)^2} \)

10. Нахождение значений x, при которых производная равна 0:

\[ y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \]

Сначала найдем производную функции:

\[ y' = 2 \times 3x^2 - 3 \times 2x - 12 \]

\[ y' = 6x^2 - 6x - 12 \]

Теперь приравняем производную к 0:

\[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]

Разделим все на 6:

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \) и \( x_1 x_2 = -2 \). Подбираем корни: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \).

Ответ: \( x = 2 \) и \( x = -1 \)