Вариант 1. Вычислить производные функций: 1) y=∛3; 2) y=3x⁸−7x−2,5; 3) y=e²ˣ+x²; 4) y=e²ˣ⁺²+2x²; 5) y=2ˣ−x⁻²; 6) y=2ln x+3ˣ; 7) y=sin x−2; 8) y=(x²+x)(x³−x); 9) y=(x³+1)/(x+1). 10) При каких значениях x значение производной функции y=2x³−3x²−12x+1 равно 0?

Используем правила: производная константы равна 0; степенная функция: (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹; (aˣ)′=aˣ ln a; (eᵘ)′=eᵘu′; (ln x)′=1/x; (sin x)′=cos x. Для произведения и частного применяем соответствующие правила.

1. y′=0.
2. y′=24x⁷−7.
3. y′=2e²ˣ+2x.
4. y′=2e²ˣ⁺²+4x.
5. y′=2ˣ ln 2+2x⁻³.
6. y′=2/x+3ˣ ln 3.
7. y′=cos x.
8. Раскроем скобки: y=x⁵+x⁴−x³−x², поэтому y′=5x⁴+4x³−3x²−2x.
9. По правилу производной частного: y′=[3x²(x+1)−(x³+1)]/(x+1)²=(2x³+3x²−1)/(x+1)², x≠−1.
10. y′=6x²−6x−12. Решаем 6(x²−x−2)=0, то есть (x−2)(x+1)=0. Следовательно, x=−1 или x=2.

Ответ: 10) x=−1; x=2.