Вариант 4. Вычислить производные функций: 1) y=√[2]7; 2) y=2x¹⁰−8x−13; 3) y=e⁴ˣ+x⁴; 4) y=e³ˣ⁺¹+2x⁴; 5) y=4ˣ−x⁻⁴; 6) y=3ln x+4ˣ; 7) y=sin x+1; 8) y=(x²−x)(x³−2); 9) y=(x³+2)/(x+1). 10) При каких значениях x значение производной функции y=2x³−3x²−12x+1 равно 0?

Используем правила: производная константы равна 0; степенная функция: (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹; (aˣ)′=aˣ ln a; (eᵘ)′=eᵘu′; (ln x)′=1/x; (sin x)′=cos x. Для произведения и частного применяем соответствующие правила.

1. y′=0.
2. y′=20x⁹−8.
3. y′=4e⁴ˣ+4x³.
4. y′=3e³ˣ⁺¹+8x³.
5. y′=4ˣ ln 4+4x⁻⁵.
6. y′=3/x+4ˣ ln 4.
7. y′=cos x.
8. Раскроем скобки: y=x⁵−x⁴−2x²+2x, поэтому y′=5x⁴−4x³−4x+2.
9. По правилу производной частного: y′=[3x²(x+1)−(x³+2)]/(x+1)²=(2x³+3x²−2)/(x+1)², x≠−1.
10. y′=6x²−6x−12. Решаем 6(x−2)(x+1)=0. Следовательно, x=−1 или x=2.

Ответ: 10) x=−1; x=2.