Вариант 2. Вычислить производные функций: 1) y=√[2]5; 2) y=5x⁶−2x−4,5; 3) y=e³ˣ+x³; 4) y=e³ˣ⁺¹+3x³; 5) y=10ˣ−x⁻²; 6) y=3ln x+2ˣ; 7) y=sin x−1; 8) y=(x²−x)(x³+x); 9) y=(x²+1)/(x+1). 10) При каких значениях x значение производной функции y=2x³−3x²−12x+1 равно 0?

Используем правила: производная константы равна 0; степенная функция: (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹; (aˣ)′=aˣ ln a; (eᵘ)′=eᵘu′; (ln x)′=1/x; (sin x)′=cos x. Для произведения и частного применяем соответствующие правила.

1. y′=0.
2. y′=30x⁵−2.
3. y′=3e³ˣ+3x².
4. y′=3e³ˣ⁺¹+9x².
5. y′=10ˣ ln 10+2x⁻³.
6. y′=3/x+2ˣ ln 2.
7. y′=cos x.
8. Раскроем скобки: y=x⁵−x⁴+x³−x², поэтому y′=5x⁴−4x³+3x²−2x.
9. По правилу производной частного: y′=[2x(x+1)−(x²+1)]/(x+1)²=(x²+2x−1)/(x+1)², x≠−1.
10. y′=6x²−6x−12. Решаем 6(x−2)(x+1)=0. Следовательно, x=−1 или x=2.

Ответ: 10) x=−1; x=2.