Вариант 1, задание 1. Исследуйте функцию и постройте график: $f(x)=-x^3+6x^2-9x-8$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1, задание 1. Исследуйте функцию и постройте график: $f(x)=-x^3+6x^2-9x-8$.$ Фото задания

Accepted Answer

Исследование функции

Область определения: $D(f)=\mathbb{R}$, поскольку функция многочленная.
Чётность: функция ни чётная, ни нечётная: $f(-x)$ не равна ни $f(x)$, ни $-f(x)$.
Пересечения с осями: с осью $Oy$: $f(0)=-8$, точка $(0;-8)$. Уравнение $f(x)=0$ имеет один действительный корень $x\approx-0.613$, поэтому пересечение с $Ox$ приблизительно $(-0.613;0)$.
Знак: функция положительна при $x<-0.613$ и отрицательна при $x>-0.613$ (граница указана приближённо).
Монотонность и экстремумы: $f'(x)=-3x^2+12x-9=-3(x-1)(x-3)$. Производная отрицательна на $(-\infty;1)$ и $(3;+\infty)$, положительна на $(1;3)$. Следовательно, функция убывает на $(-\infty;1)$, возрастает на $(1;3)$, убывает на $(3;+\infty)$. $f(1)=-12$ — минимум, $f(3)=-8$ — максимум.
Выпуклость и перегиб: $f''(x)=-6x+12$. При $x<2$ вторая производная положительна, при $x>2$ отрицательна. В точке $(2;-10)$ знак $f''$ меняется, это точка перегиба.
Асимптоты: нет.

График:

Вариант 1, задание 1. Исследуйте функцию и постройте график: \(f(x)=-x^3+6x^2-9x-8\).