Вариант 2, задание 1. Исследуйте функцию и постройте график: $y=2x^3+3x^2-12x-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2, задание 1. Исследуйте функцию и постройте график: $y=2x^3+3x^2-12x-1$.$ Фото задания

Accepted Answer

Исследование функции

Область определения: $D(y)=\mathbb{R}$.
Чётность: функция ни чётная, ни нечётная.
Пересечения с осями: с $Oy$: $y(0)=-1$, точка $(0;-1)$. Уравнение $2x^3+3x^2-12x-1=0$ имеет три действительных корня: приблизительно $-3.282$, $-0.082$, $1.864$. Это абсциссы пересечений с $Ox$.
Знак: с учётом трёх простых корней функция отрицательна на $(-\infty;-3.282)$ и $(-0.082;1.864)$, положительна на $(-3.282;-0.082)$ и $(1.864;+\infty)$. Границы указаны приближённо.
Монотонность и экстремумы: $y'=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)$. Функция возрастает на $(-\infty;-2)$ и $(1;+\infty)$, убывает на $(-2;1)$. При $x=-2$ локальный максимум: $y(-2)=19$. При $x=1$ локальный минимум: $y(1)=-8$.
Выпуклость и перегиб: $y''=12x+6$. При $x<-\frac12$ вторая производная отрицательна, при $x>-\frac12$ положительна. Точка перегиба: $\left(-\frac12;\frac{11}{2}\right)$.
Асимптоты: нет.

График:

Вариант 2, задание 1. Исследуйте функцию и постройте график: \(y=2x^3+3x^2-12x-1\).