Вариант 2, задание 2. Исследуйте функцию и постройте график: $y(x)=\frac{x^2+8}{1-x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2, задание 2. Исследуйте функцию и постройте график: $y(x)=\frac{x^2+8}{1-x}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Исследование функции

Область определения: $D(y)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
Чётность: функция ни чётная, ни нечётная.
Пересечения с осями: с $Oy$: $y(0)=8$, точка $(0;8)$. С $Ox$ пересечений нет, так как числитель $x^2+8$ всегда положителен.
Знак: числитель положителен; знаменатель положителен при $x<1$ и отрицателен при $x>1$. Поэтому $y>0$ на $(-\infty;1)$, $y<0$ на $(1;+\infty)$.
Монотонность и экстремумы: $y=-x-1+\frac{9}{1-x}$, поэтому $y'=-1+\frac{9}{(1-x)^2}=\frac{9-(1-x)^2}{(1-x)^2}$. Функция убывает на $(-\infty;-2)$ и $(4;+\infty)$, возрастает на $(-2;1)$ и $(1;4)$. При $x=-2$ минимум $y=4$; при $x=4$ максимум $y=-8$.
Выпуклость и перегиб: $y''=\frac{18}{(1-x)^3}$. При $x<1$ вторая производная положительна, при $x>1$ отрицательна. Точки перегиба нет, поскольку смена знака происходит через точку разрыва $x=1$.
Асимптоты: вертикальная — $x=1$. Деление даёт $y=-x-1+\frac{9}{1-x}$, поэтому наклонная асимптота — $y=-x-1$. Горизонтальной асимптоты нет.

График:

Вариант 2, задание 2. Исследуйте функцию и постройте график: \(y(x)=\frac{x^2+8}{1-x}\).