Вариант 1, задание 2. Исследуйте функцию и постройте график: $y(x)=\frac{x^2-x+4}{2x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1, задание 2. Исследуйте функцию и постройте график: $y(x)=\frac{x^2-x+4}{2x}$.$ Фото задания

Вариант 1, задание 2. Исследуйте функцию и постройте график: $y(x)=\frac{x^2-x+4}{2x}$.

Accepted Answer

Исследование функции

Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Чётность: функция ни чётная, ни нечётная.
Пересечения с осями: с $Oy$ пересечения нет, так как $x=0$ не входит в область определения. Числитель $x^2-x+4$ всегда положителен: его дискриминант равен $-15$. Поэтому пересечений с $Ox$ нет.
Знак: числитель положителен, а знак знаменателя совпадает со знаком $x$. Значит, $y<0$ при $x<0$, $y>0$ при $x>0$.
Монотонность и экстремумы: представим функцию как $y=\frac{x}{2}-\frac12+\frac{2}{x}$. Тогда $y'=\frac12-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2-4}{2x^2}$. Она возрастает на $(-\infty;-2)$ и $(2;+\infty)$, убывает на $(-2;0)$ и $(0;2)$. При $x=-2$ производная меняет знак с плюса на минус: максимум $y(-2)=-\frac52$. При $x=2$ знак меняется с минуса на плюс: минимум $y(2)=\frac32$.
Выпуклость и перегиб: $y''=\frac{4}{x^3}$. При $x<0$ график выпуклый вниз, при $x>0$ — вверх. Точки перегиба нет: смена знака происходит через точку $x=0$, не принадлежащую области определения.
Асимптоты: вертикальная — $x=0$; наклонная — $y=\frac{x}{2}-\frac12$, поскольку разность между функцией и этой прямой равна $\frac{2}{x}$ и стремится к нулю при $|x|\to\infty$. Горизонтальных асимптот нет.

График:

Вариант 1, задание 2. Исследуйте функцию и постройте график: \(y(x)=\frac{x^2-x+4}{2x}\).

Ответ: