Вариант 2: 2. Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 6,5 см. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен 5 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Радиус окружности R = 6,5 см, значит, диаметр D = 2 * R = 2 * 6,5 = 13 см. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см.

Один из катетов (пусть будет a) равен 5 см. Найдем второй катет (b) по теореме Пифагора:

• \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
• \[ 5^2 + b^2 = 13^2 \]
• \[ 25 + b^2 = 169 \]
• \[ b^2 = 169 - 25 \]
• \[ b^2 = 144 \]
• \[ b = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Площадь прямоугольного треугольника (S) вычисляется по формуле:

• \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Подставим значения катетов:

• \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 \]
• \[ S = \frac{1}{2} \cdot 60 \]
• \[ S = 30 \text{ см}^2 \]

Ответ: 30 см²