Вариант 2 № 3. Найдите значение выражения ((5³)² • 5¹⁶) / (9 • 225⁷).

Решение:

Для решения приведём все числа к одному основанию степени.

1. Упростим числитель: \( (5^3)^2 \cdot 5^{16} = 5^{3 \cdot 2} \cdot 5^{16} = 5^6 \cdot 5^{16} = 5^{6+16} = 5^{22} \).
2. Упростим знаменатель: \( 9 \cdot 225^7 \).
   Представим 9 как \( 3^2 \), а 225 как \( 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \).
   \( 9 \cdot 225^7 = 3^2 \cdot (15^2)^7 = 3^2 \cdot 15^{14} \)
   Так как \( 15 = 3 \cdot 5 \), то \( 15^{14} = (3 \cdot 5)^{14} = 3^{14} \cdot 5^{14} \).
   Знаменатель: \( 3^2 \cdot 3^{14} \cdot 5^{14} = 3^{2+14} \cdot 5^{14} = 3^{16} \cdot 5^{14} \).
3. Теперь подставим упрощённые числитель и знаменатель в исходное выражение:

\( \frac{5^{22}}{3^{16} \cdot 5^{14}} = \frac{5^{22-14}}{3^{16}} = \frac{5^8}{3^{16}} \)

Ответ: \( \frac{5^8}{3^{16}} \).