Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
1) Сделаем замену \(c=\cos x\):
\(10c^2+3c=1\), поэтому \(10c^2+3c-1=0\).
Дискриминант: \(D=3^2-4\cdot10\cdot(-1)=49\). Тогда \(c=\frac{-3\pm7}{20}\), то есть \(c=\frac{1}{5}\) или \(c=-\frac{1}{2}\).
Следовательно, для первого значения \(x=\pm\arccos\frac{1}{5}+2\pi k\); для второго \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).
2) Используем подстановку \(t= g\frac{x}{2}\), при которой \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\). Получаем:
\(5\cdot\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=5\).
Умножим на \(1+t^2\): \(10t+1-t^2=5+5t^2\), откуда \(3t^2-5t+2=0\).
Разложим на множители: \((3t-2)(t-1)=0\). Значит, \(t=\frac{2}{3}\) или \(t=1\). Тогда \(x=2\arctan\frac{2}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\). Значение \(x=\pi+2\pi k\), не попавшее в подстановку, исходному уравнению не удовлетворяет.
3) Преобразуем левую часть, используя \(\sin^2x+\cos^2x=1\):
\(\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=1-\frac{1}{2}\sin^22x\).
Подставим в уравнение: \(1-\frac{1}{2}\sin^22x=\sin^22x-\frac{1}{2}\). Отсюда \(\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\sin^22x\), то есть \(\sin^22x=1\).
Значит, \(2x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), и поэтому \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), где \(k\in\mathbb{Z}\).
Ответ: 1) \(x=\pm\arccos\frac{1}{5}+2\pi k\), \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\); 2) \(x=2\arctan\frac{2}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\); 3) \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), \(k\in\mathbb{Z}\).
