Вариант 2. 4*. В треугольнике \(MNK\) точка \(O\) — точка пересечения медиан, \(\overrightarrow{MN}=\vec x\), \(\overrightarrow{MK}=\vec y\), \(\overrightarrow{MO}=k\cdot(\vec x+\vec y)\). Найдите число \(k\).

Пусть \(Q\) — середина стороны \(NK\). Тогда \(\overrightarrow{MQ}=\frac12(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK})=\frac12(\vec x+\vec y)\). Точка пересечения медиан делит медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины, поэтому \(\overrightarrow{MO}=\frac23\overrightarrow{MQ}=\frac13(\vec x+\vec y)\).

Сравнивая с условием \(\overrightarrow{MO}=k(\vec x+\vec y)\), получаем \(k=\frac13\).

Ответ: \(k=\frac13\).