Вариант 2. Контрольная работа. Решение треугольников, 9 класс. 1. Две стороны треугольника равны 10 см и 13 см, а угол между ними — 120°. Найдите третью сторону треугольника. 2. В треугольнике ABC известно, что BC = 5√2 см, ∠A = 45°, ∠B = 60°. Найдите сторону AC треугольника и радиус описанной около него окружности. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 6 см, 13 см и 12 см. 4. Одна сторона треугольника на 2 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см. 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором угол B равен 45°, BC = 10√2 см, AC = 14√2 см.

По теореме косинусов для третьей стороны c:

\(c^2=10^2+13^2-2\cdot10\cdot13\cos120^\circ=100+169+130=399\).

\(c=\sqrt{399}=3\sqrt{?}\) см; точное упрощённое значение — \(\sqrt{399}\) см.

По теореме синусов, так как BC лежит напротив угла A:

\(2R=\dfrac{5\sqrt2}{\sin45^\circ}=10\), поэтому \(R=5\) см.

\(\angle C=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ\). Тогда \(AC=2R\sin B=10\sin60^\circ=5\sqrt3\) см.

Наибольшая сторона — 13 см. \(13^2=169\), а \(12^2+6^2=180\). Так как \(169<180\), треугольник остроугольный.

Пусть меньшая сторона равна x, большая — \(x+2\). По теореме косинусов:

\(7^2=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)\cos120^\circ=3x^2+6x+4\).

Получаем \(3x^2+6x-45=0\), откуда \(x=3\) (отрицательный корень не подходит). Стороны равны 3 см и 5 см.

Периметр: \(3+5+7=15\) см.

По теореме косинусов найдём AB, лежащую напротив угла B:

\(AB^2=(10\sqrt2)^2+(14\sqrt2)^2-2\cdot10\sqrt2\cdot14\sqrt2\cos45^\circ=200+392-280=312\).

\(AB=2\sqrt{78}\) см. По расширенной теореме синусов \(2R=AB/\sin45^\circ=4\sqrt{39}\), поэтому \(R=2\sqrt{39}\) см.