Вариант 4. Контрольная работа. Решение треугольников, 9 класс. 1. Две стороны треугольника равны 7√2 см и 13 см, а угол между ними — 45°. Найдите третью сторону треугольника. 2. В треугольнике ABC известно, что AC = 5√2 см, ∠A = 45°, ∠B = 30°. Найдите сторону BC треугольника и радиус описанной около него окружности. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 8 см, 14 см и 11 см. 4. Одна сторона треугольника на 10 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см. 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором угол A равен 60°, BC = 12√3 см, AB = 5√2 см.

По теореме косинусов:

\(c^2=(7\sqrt2)^2+13^2-2\cdot7\sqrt2\cdot13\cos45^\circ=98+169-182=85\).

Третья сторона равна \(\sqrt{85}\) см.

\(\angle C=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\). По теореме синусов:

\(2R=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{5\sqrt2}{1/2}=10\sqrt2\), значит, \(R=5\sqrt2\) см.

\(BC=2R\sin A=10\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=10\) см.

Наибольшая сторона — 14 см. \(14^2=196\), а \(8^2+11^2=185\). Поскольку \(196>185\), треугольник тупоугольный.

Пусть меньшая сторона равна x, тогда большая равна \(x+10\). По теореме косинусов:

\(14^2=x^2+(x+10)^2-2x(x+10)\cos60^\circ=x^2+10x+100\).

Получаем \(x^2+10x-96=0\), откуда \(x=6\) (отрицательный корень не подходит). Другая сторона равна 16 см.

Периметр: \(6+16+14=36\) см.

Известны BC и угол A, поэтому по теореме синусов \(2R=BC/\sin A\):

\(2R=\dfrac{12\sqrt3}{\sqrt3/2}=24\), следовательно, \(R=12\) см. Длина AB для нахождения радиуса не требуется.