Вариант 3. Контрольная работа. Решение треугольников, 9 класс. 1. Две стороны треугольника равны 5√3 см и 8 см, а угол между ними — 30°. Найдите третью сторону треугольника. 2. В треугольнике ABC известно, что AC = 10√2 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°. Найдите сторону AB треугольника и радиус описанной около него окружности. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 10 см, 8 см и 3 см. 4. Одна сторона треугольника на 6 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см. 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором угол A равен 45°, AC = 12√2 см, CB = 11√2 см.

По теореме косинусов:

\(c^2=(5\sqrt3)^2+8^2-2\cdot5\sqrt3\cdot8\cos30^\circ=75+64-120=19\).

Третья сторона равна \(\sqrt{19}\) см.

Сторона AC лежит напротив угла B. По теореме синусов:

\(2R=\dfrac{10\sqrt2}{\sin45^\circ}=20\), следовательно, \(R=10\) см.

\(\angle A=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\). Поэтому \(AB=2R\sin C=20\cdot\sin30^\circ=10\) см.

Наибольшая сторона — 10 см. \(10^2=100\), а \(8^2+3^2=73\). Поскольку \(100>73\), треугольник тупоугольный.

Пусть меньшая сторона равна x, большая — \(x+6\). По теореме косинусов:

\(14^2=x^2+(x+6)^2-2x(x+6)\cos60^\circ=x^2+6x+36\).

Получаем \(x^2+6x-160=0\), откуда \(x=10\) (отрицательный корень не подходит). Другая сторона равна 16 см.

Периметр: \(10+16+14=40\) см.

Сторона BC лежит напротив угла A. По теореме синусов:

\(2R=\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{11\sqrt2}{\sqrt2/2}=22\), поэтому \(R=11\) см.