Вариант 2. Начертите два неколлинеарных вектора m и n. Постройте векторы, равные: а) ⅓m + 2n; б) 3n − m. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Первые два вектора заданы как линейные комбинации произвольных неколлинеарных m и n; без их конкретного рисунка можно указать построение: откладывать с общей начальной точки направленные отрезки соответствующих кратных векторов, а затем складывать их по правилу параллелограмма.

1. Для ⅓m + 2n постройте ⅓m и 2n, затем их сумму.
2. Для 3n − m постройте 3n и −m, затем их сумму.

В квадрате возьмём B за начало. Тогда A = x и C = y. Поскольку диагонали делятся пополам, O = (x + y)/2, поэтому BO = ½x + ½y.

P — середина CD. Векторы C и D относительно B равны y и x + y, следовательно, P = (y + x + y)/2 = ½x + y. Поэтому BP = ½x + y, а PA = x − (½x + y) = ½x − y.

Данных для нахождения средней линии трапеции недостаточно: длина боковой стороны 8 см и угол 60° задают высоту и горизонтальную проекцию боковой стороны, но не определяют основания или их сумму. Нужна дополнительная величина, например длина одного основания либо разность оснований.