Вариант 2, Задание 1. Даны касательные к окружности, отмечен центр окружности. Найдите неизвестный элемент. Оформление: рисунок, дано, найти, решение.

Решение:

• Дано: Окружность с центром O. Касательные. Угол, образованный касательными, равен 120°. Отрезок, соединяющий точки касания, равен 10.
• Найти: Неизвестный элемент (обозначен как x).
• Решение:
1. Проведем радиусы к точкам касания. Радиусы перпендикулярны касательным.
2. Рассмотрим четырехугольник, образованный центром окружности, точками касания и вершиной угла между касательными. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
3. Угол между касательными равен 120°. Углы между радиусами и касательными равны 90°.
4. Следовательно, центральный угол, опирающийся на хорду, равен 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.
5. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности и двумя точками касания. Этот треугольник равнобедренный (две стороны — радиусы).
6. Так как центральный угол равен 60°, то треугольник равносторонний.
7. Следовательно, радиус окружности равен половине хорды, соединяющей точки касания, то есть радиус равен 10 / 2 = 5.
8. В условии указано, что отрезок, соединяющий точки касания, равен 10.
9. Тогда радиус равен 5.
10. x - это длина касательной от вершины угла до точки касания.
11. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром окружности, точкой касания и вершиной угла.
12. Угол при центре равен 60°, угол при точке касания 90°.
13. Следовательно, второй острый угол равен 180° - 90° - 60° = 30°.
14. Пусть R - радиус, x - касательная.
15. tg(30°) = R / x.
16. tg(30°) = 1 / √3.
17. R = 5.
18. 1 / √3 = 5 / x.
19. x = 5√3.

Ответ: x = 5√3