Задание 2. По готовому чертежу найдите неизвестный элемент. Оформление: рисунок, дано, решение.

Решение:

• Дано: Окружность. Касательные. Хорда длиной 8. Угол между касательной и хордой 60°.
• Найти: Неизвестный элемент (угол x).
• Решение:
1. Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине угловой меры дуги, заключенной между ними.
2. Пусть точка касания — A. Угол между касательной и хордой AB равен 60°.
3. Следовательно, дуга AB (меньшая) равна 2 * 60° = 120°.
4. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен 120°.
5. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности и концами хорды. Этот треугольник равнобедренный, с углом при центре 120°.
6. Углы при основании (у концов хорды) равны (180° - 120°) / 2 = 30°.
7. Угол x — это угол между хордой и другой касательной.
8. Рассмотрим угол, образованный хордой AB и касательной. По теореме о равенстве углов между касательной и хордой, угол, опирающийся на дугу, равен половине этой дуги.
9. Пусть угол между касательной и хордой равен 60°. Тогда дуга, которую отсекает хорда, равна 120°.
10. Угол x — это угол между другой касательной и той же хордой.
11. Пусть точки касания — A и B. Угол между касательными x. Угол между хордой AB и касательной равен 60°.
12. По теореме о равенстве угла между касательной и хордой, угол, опирающийся на дугу AB, равен 2 * 60° = 120°.
13. Центральный угол ∠AOB = 120°.
14. Рассмотрим треугольник, образованный двумя касательными и хордой.
15. Пусть вершина угла между касательными — C. Тогда CA и CB — касательные. AB — хорда.
16. Угол между касательной CA и хордой AB равен 60°.
17. Угол между касательной CB и хордой AB равен x.
18. Угол между касательными ∠ACB = ?.
19. Дуга AB, стягиваемая хордой, равна 120°.
20. Центральный угол ∠AOB = 120°.
21. Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, OA = OB = R. Углы ∠OAB = ∠OBA = (180° - 120°) / 2 = 30°.
22. Угол между касательной CA и радиусом OA равен 90°.
23. Угол ∠CAO = 90°.
24. Угол между касательной CA и хордой AB = ∠CAO - ∠OAB = 90° - 30° = 60°. Это совпадает с условием.
25. Теперь рассмотрим угол x. Он равен углу между касательной CB и хордой AB.
26. Угол между касательной CB и радиусом OB равен 90°. ∠CBO = 90°.
27. Угол x = ∠CBA = ∠CBO - ∠OBA = 90° - 30° = 60°.
28. Проверка: В четырехугольнике ACBO, ∠ACB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.
29. Угол между касательными равен 60°.
30. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую отсекает хорда.
31. Если угол между касательной и хордой 60°, то дуга 120°.
32. Рассмотрим вторую касательную. Угол x между этой касательной и хордой.
33. Дуга AB = 120°.
34. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую отсекает хорда.
35. Если x - угол между касательной и хордой, то дуга, соответствующая этому углу, равна 2x.
36. Так как дуга AB = 120°, то угол x = 120° / 2 = 60°.
37. Важно: Угол между касательной и хордой равен углу, опирающемуся на ту же дугу, но лежащему внутри окружности.
38. Пусть точка касания — A. Угол между касательной АС и хордой AB равен 60°. Дуга AB = 120°.
39. Пусть другая точка касания — B. Угол между касательной BD и хордой AB равен x.
40. Дуга AB = 120°.
41. Угол x = 120° / 2 = 60°.
42. Хорда равна 8.
43. В равностороннем треугольнике AOB, если R=5, то хорда = 5. Здесь хорда 8.
44. Значит, R не 5.
45. Пусть R - радиус. По теореме косинусов для треугольника AOB: AB² = R² + R² - 2R²cos(120°) = 2R² - 2R²(-1/2) = 2R² + R² = 3R².
46. 8² = 3R².
47. 64 = 3R².
48. R² = 64/3.
49. R = 8/√3 = 8√3/3.
50. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, касательной и линией, соединяющей центр и вершину угла между касательными:
51. Угол при центре 120°, угол при точке касания 90°, угол при вершине 60°.
52. Пусть x - длина касательной.
53. tg(30°) = R / x.
54. x = R / tg(30°) = (8/√3) / (1/√3) = 8.
55. Касательная равна 8.
56. Но x на чертеже — это угол.
57. Угол x на чертеже — это угол между хордой и касательной.
58. Этот угол равен половине дуги, которую отсекает хорда.
59. Дуга = 120°.
60. x = 120° / 2 = 60°.

Ответ: x = 60°