Вариант 2, задание 3. Постройте график функции y = x² − x − 2. С помощью графика найдите значение функции при x = 1,5; значения x, при которых y = 3; нули функции и промежутки знакопостоянства; промежутки возрастания и убывания функции; множество значений функции.

Выделим квадрат двучлена: y = x² − x − 2 = (x − 0,5)² − 2,25. Вершина параболы — (0,5; −2,25), ветви направлены вверх. Нули: x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) = 0, поэтому x = −1 и x = 2.

График:

1. При x = 1,5: y = 1,5² − 1,5 − 2 = 2,25 − 1,5 − 2 = −1,25.
2. Если y = 3, то x² − x − 2 = 3, то есть x² − x − 5 = 0. Отсюда x = (1 − √21)/2 или x = (1 + √21)/2.
3. Нули функции: −1 и 2. Поскольку ветви параболы направлены вверх, y > 0 при x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞), а y < 0 при x ∈ (−1; 2).
4. Функция убывает на (−∞; 0,5] и возрастает на [0,5; +∞).
5. Наименьшее значение равно −2,25 = −9/4, поэтому множество значений — [−9/4; +∞).

Ответ: y(1,5) = −1,25; при y = 3 значения x равны (1 − √21)/2 и (1 + √21)/2; нули −1 и 2; функция положительна вне промежутка [−1; 2] и отрицательна на (−1; 2); убывает на (−∞; 0,5], возрастает на [0,5; +∞); множество значений [−9/4; +∞).