Вариант 21. 7. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов — 9 см. Найдите площадь сечения, проведённого через середину высоты пирамиды параллельно её основанию.

Найдём второй катет основания по теореме Пифагора: \(15^2-9^2=225-81=144\), значит, он равен \(12\) см.

Площадь основания: \(S_{осн}=\frac{1}{2}\cdot9\cdot12=54\) см².

Сечение параллельно основанию, поэтому оно подобно основанию. Плоскость проходит через середину высоты, следовательно, расстояние от вершины пирамиды до сечения вдвое меньше высоты пирамиды. Коэффициент подобия равен \(\frac{1}{2}\), а площади относятся как квадраты коэффициента:

\(S_{сеч}=54\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=13.5\) см².

Ответ: 13,5 см².