Вариант 3. 1. Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними — 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2. В треугольнике ABC известно, что BC = 7√2 см, ∠A = 135°, ∠B = 30°. Найдите сторону AC треугольника. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см.

1. По теореме косинусов: \(c^2=8^2+(4\sqrt3)^2-2\cdot8\cdot4\sqrt3\cos30^\circ=16\), поэтому \(c=4\) см.

Площадь: \(S=\frac12\cdot8\cdot4\sqrt3\sin30^\circ=8\sqrt3\) см².

2. По теореме синусов: \(\frac{AC}{\sin30^\circ}=\frac{BC}{\sin135^\circ}\). Тогда \(AC=7\sqrt2\cdot\frac{1/2}{\sqrt2/2}=7\) см.

3. Наибольшая сторона — 12 см. Так как \(12^2=144>5^2+9^2=106\), треугольник тупоугольный.

Ответ: 1) третья сторона — 4 см, площадь — 8√3 см²; 2) AC = 7 см; 3) тупоугольный.