Вариант 3. 1. Вершины B и C треугольника ABC лежат в плоскости β. Вершина A ей не принадлежит. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AB и AC, параллельна плоскости β. 2. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AC, пересекает сторону AB в точке A₁, а сторону BC — в точке C₁. Вычислите длину отрезка BC₁, если CC₁ = 20 см, A₁C₁ : AC = 3 : 7. 3. Точка O не принадлежит плоскости равнобедренной трапеции KMPT (KT ∥ MP). Как расположены прямые, одна из которых содержит среднюю линию трапеции, а другая — середины отрезков OM и OP? Найдите угол между прямой MK и прямой, содержащей середины отрезков OM и OP, если ∠MPT = 110°.

1. Обозначим середины AB и AC через X и Y. По теореме о средней линии треугольника ABC получаем XY ∥ BC. Прямая BC лежит в β, а XY ей параллельна и не совпадает с ней, поэтому XY не пересекает β. Следовательно, XY ∥ β.

2. Так как A₁C₁ ∥ AC, треугольники BA₁C₁ и BAC подобны. Коэффициент подобия равен A₁C₁/AC = 3/7, поэтому BC₁/BC = 3/7, а CC₁/BC = 4/7. Тогда (4/7)BC = 20, откуда BC = 35 см. Значит, BC₁ = (3/7) · 35 = 15 см.

3. Пусть прямая через середины OM и OP — это линия, содержащая отрезок, соединяющий эти середины. В треугольнике OMP она параллельна MP по теореме о средней линии. Средняя линия трапеции также параллельна MP. Следовательно, эти две прямые параллельны.

В равнобедренной трапеции углы при основании MP равны, поэтому ∠KMP = ∠MPT = 110°. Искомая прямая параллельна MP; острый угол между прямыми MK и MP равен 180° − 110° = 70°.

Ответ: 1) прямая параллельна β; 2) BC₁ = 15 см; 3) прямые параллельны, угол между MK и указанной прямой равен 70°.