Вариант 4. 1. Точка M не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD. Прямая a проходит через точку M и параллельна прямой AC. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и MC, параллельна плоскости прямоугольника. 2. Дан треугольник CKP. Плоскость, параллельная прямой PK, пересекает сторону CP в точке E, а сторону KC — в точке F. Вычислите длину отрезка PK, если EF = 14 дм, CE : EP = 2 : 5. 3. Точка A не лежит в плоскости ромба BCDE. Как расположены прямая BD и прямая m, которая проходит через середины отрезков AB и AC? Найдите угол между прямыми m и BD, если ∠CDE = 120°.

1. Обозначим середины MA и MC через X и Y. В треугольнике MAC отрезок XY — средняя линия, поэтому XY ∥ AC. Поскольку AC лежит в плоскости ABCD, а XY ей параллельна и не лежит в этой плоскости (точка X принадлежит прямой MA, пересекающей плоскость только в A), получаем XY ∥ плоскости ABCD.

2. Поскольку EF параллельна PK, треугольники CEF и CPK подобны. Из CE : EP = 2 : 5 следует CE/CP = 2/7. Поэтому EF/PK = 2/7. Тогда 14/PK = 2/7, откуда PK = 49 дм.

3. В треугольнике ABC прямая m, проходящая через середины AB и AC, параллельна BC. В ромбе BCDE BC ∥ DE, следовательно, m ∥ DE.

Диагональ BD ромба делит угол CDE пополам, поэтому угол между BD и DE равен 120°/2 = 60°. Так как m ∥ DE, угол между m и BD также равен 60°.

Ответ: 1) прямая параллельна плоскости ABCD; 2) PK = 49 дм; 3) m ∥ DE, угол между m и BD равен 60°.