Вариант 5. 1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Вершина C не лежит в этой плоскости. Через середины боковых сторон трапеции проведена прямая m. Докажите, что прямая m параллельна плоскости α. 2. Дан треугольник MPK. Плоскость, параллельная прямой MK, пересекает сторону MP в точке M₁, а сторону PK — в точке K₁. Вычислите длину отрезка M₁K₁, если MK = 27 см, PK₁ : K₁K = 5 : 4. 3. Точка O не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Как расположены прямые AB и p, проходящие через середины отрезков OC и OD? Найдите угол между прямыми p и BC, если ∠BAD = 130°.

1. Прямая, соединяющая середины боковых сторон трапеции, — её средняя линия, поэтому m ∥ AD. Так как AD лежит в α, а m не совпадает с AD и не пересекает плоскость α, получаем m ∥ α.

2. Из PK₁ : K₁K = 5 : 4 следует PK₁/PK = 5/(5 + 4) = 5/9. Поскольку M₁K₁ ∥ MK, треугольники PM₁K₁ и PMK подобны, а M₁K₁/MK = PK₁/PK. Тогда M₁K₁ = 27 · 5/9 = 15 см.

3. В треугольнике OCD прямая p, соединяющая середины OC и OD, — средняя линия, поэтому p ∥ CD. В параллелограмме CD ∥ AB, следовательно, p ∥ AB.

Также BC ∥ AD. Угол между прямыми p и BC равен меньшему углу между параллельными им прямыми AB и AD: 180° − 130° = 50°.

Ответ: 1) m ∥ α; 2) M₁K₁ = 15 см; 3) AB ∥ p, угол между p и BC равен 50°.