Вариант 6. 1. Отрезок MP расположен в плоскости α. Точка K не лежит в ней. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков KM и KP, параллельна плоскости α. 2. Дан треугольник EFT. Плоскость, параллельная прямой FT, пересекает сторону EF в точке D, а сторону ET — в точке C. Вычислите длину отрезка CD, если FT = 24 дм, DE : EF = 1 : 3. 3. Точка M не лежит в плоскости квадрата ABCD. Как расположены прямая AC и прямая, проходящая через середины отрезков MA и MB? Найдите угол между этими прямыми.

1. Обозначим середины KM и KP через X и Y. В треугольнике KMP отрезок XY — средняя линия, следовательно, XY ∥ MP. Поскольку MP лежит в α, а XY не лежит в этой плоскости, получаем XY ∥ α.

2. Так как CD ∥ FT, треугольники EDC и EFT подобны. По условию DE/EF = 1/3, значит, CD/FT = 1/3. Поэтому CD = 24 · 1/3 = 8 дм.

3. Обозначим через N середину MA, а через P — середину MB. В треугольнике MAB отрезок NP — средняя линия, поэтому NP ∥ AB. В квадрате диагональ AC образует с его стороной AB угол 45°. Следовательно, угол между AC и прямой NP равен 45°.

Ответ: 1) прямая параллельна α; 2) CD = 8 дм; 3) прямая через середины параллельна AB, угол между ней и AC равен 45°.