ВАРИАНТ 3. 2. Докажите, что отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей прямоугольника с серединой стороны, перпендикулярен этой стороне.

Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\), точку пересечения диагоналей \(O\) и середину стороны \(AB\), обозначенную через \(M\).

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому:

\[OA=OB.\]

Следовательно, точка \(O\) равноудалена от концов отрезка \(AB\). Значит, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(AB\).

Поскольку \(M\) — середина стороны \(AB\), прямая \(OM\) и есть серединный перпендикуляр к \(AB\).

Следовательно:

\[OM\perp AB.\]

Для любой другой стороны доказательство проводится аналогично.

Что и требовалось доказать.