Вариант 3. 3. Докажите, что при всех значениях \(y\ne\pm3\) значение выражения \(\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)\) не зависит от \(y\).

Разложим знаменатели на множители, учитывая условие \(y\ne\pm3\):

\(9-6y+y^2=(y-3)^2\), \(9-y^2=(3-y)(3+y)=-(y-3)(y+3)\).

Тогда

\(\begin{aligned}\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\left(\frac{2}{(y-3)^2}-\frac{1}{(y-3)(y+3)}\right)&=\frac{2y}{y+3}+2-\frac{y-3}{y+3}\\&=2+\frac{2y-y+3}{y+3}\\&=2+1=3.\end{aligned}\)

Полученное значение одинаково при всех допустимых значениях \(y\).

Ответ: выражение не зависит от \(y\) и равно 3.