Вариант 3. № 5*. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A—B—K, D—C—P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂. M₁M₂ = 8 см. Найдите AD.

Обозначим AB = CD = b, AD = BC = a. Направим ось вдоль AB, а сторону BC зададим вектором длины a, образующим с осью угол θ.

Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в M₁. Так как смежные углы параллелограмма имеют биссектрисы, перпендикулярные друг другу, из их уравнений получается координата M₁ вдоль AB: b/2.

Для углов KBC и BCP лучи BK и CP направлены вдоль AB и CD соответственно, но в противоположные стороны относительно внутренних лучей углов ABC и BCD. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке M₂ с координатой вдоль AB, отстоящей от M₁ на a.

Следовательно, M₁M₂ = AD. По условию M₁M₂ = 8 см.

Ответ: AD = 8 см.