Вариант 3. 5. Всегда ли разность двух простых чисел взаимно простая с ними? Приведите два примера.

Нет, не всегда. Например, для простых чисел 5 и 11 разность равна 6. НОД(5, 6) = 1 и НОД(11, 6) = 1 — в этом примере разность взаимно проста с обоими числами.

Но для простых чисел 3 и 7 разность равна 4: НОД(3, 4) = 1 и НОД(7, 4) = 1. А для простых чисел 5 и 13 разность равна 8, и НОД(5, 8) = НОД(13, 8) = 1. Чтобы увидеть, что утверждение «всегда» неверно, возьмём простые числа 2 и 7: разность равна 5, причём НОД(2, 5) = НОД(7, 5) = 1 — также взаимно просты.

На самом деле, для двух различных простых чисел разность всегда взаимно проста с каждым из них: общий делитель с одним из простых мог бы быть только самим этим простым, но оно не делит разность, если не делит другое, отличное от него простое число. Для одинаковых простых чисел разность равна 0, и НОД с ними не равен 1.

Ответ: нет, если допускаются два одинаковых простых числа: например, 5 и 5; их разность 0, НОД(5, 0) = 5. Для двух различных простых чисел разность взаимно проста с каждым из них.