Вариант 3. Решите уравнения: №1. \(\frac4{x^2-16}-\frac1{x^2+8x+16}=\frac{10}{x^3-4x^2-16x+64}\); №2. \(\frac{x(x+1)}{\frac2{x-6}+\frac1{4-x}}=\frac6{\frac2{x-6}-\frac1{x-4}}\); №3. \(\frac1{x-2}+\frac1{x-3}+\frac1{x-4}+\frac1{x-5}=0\); №4. \(x^2+\frac{9x^2}{(x-3)^2}=40\).

№1. ОДЗ: \(x\ne\pm4\). Разложение знаменателей: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\), \(x^2+8x+16=(x+4)^2\), \(x^3-4x^2-16x+64=(x-4)^2(x+4)\). После умножения на общий знаменатель: \(4(x-4)(x+4)- (x-4)^2=10(x+4)\). Решите полученное квадратное уравнение и исключите \(x=\pm4\).

№2. В выражении знаменатели вложенных дробей требуют ОДЗ: \(x\ne4,6\); кроме того, знаменатель левой большой дроби не должен равняться нулю. Требуется упростить обе вложенные дроби, затем решить полученное уравнение с проверкой ОДЗ.

№3. Положим \(y=x-\frac72\). Тогда сумма равна \(\frac{2y}{y^2-\frac94}+\frac{2y}{y^2-\frac14}=0\). Отсюда \(y=0\) или \(y^2=\frac54\); корни: \(x=\frac72,\;\frac{7\pm\sqrt5}{2}\). Все они допустимы.

№4. ОДЗ: \(x\ne3\). После умножения на \((x-3)^2\): \(x^4-6x^3-22x^2+240x-360=0\). Допустимые действительные корни этого уравнения являются решениями.