Вариант 4. Решите графически систему уравнений: \( \begin{cases} x - y = -3 \\ x + 3y = 1 \end{cases} \)

Решение:

Построим графики двух линейных уравнений. Для этого найдем по две точки для каждого уравнения.

1. \( x - y = -3 \) (или \( y = x + 3 \)):

• Если \( x = 0 \), то \( y = 3 \). Точка (0; 3).
• Если \( y = 0 \), то \( x = -3 \). Точка (-3; 0).

2. \( x + 3y = 1 \) (или \( 3y = 1 - x \) \( \Rightarrow \) \( y = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}x \)):

• Если \( x = 1 \), то \( 3y = 1 - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( y = 0 \). Точка (1; 0).
• Если \( x = -2 \), то \( 3y = 1 - (-2) = 3 \) \( \Rightarrow \) \( y = 1 \). Точка (-2; 1).

Найдем точку пересечения графиков. График первого уравнения проходит через точки (0; 3) и (-3; 0). График второго уравнения проходит через точки (1; 0) и (-2; 1).

Решая систему \( \begin{cases} y = x + 3 \\ y = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}x \end{cases} \), приравниваем правые части: \( x + 3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}x \). Умножим обе части на 3: \( 3x + 9 = 1 - x \) \( \Rightarrow \) \( 4x = 1 - 9 \) \( \Rightarrow \) \( 4x = -8 \) \( \Rightarrow \) \( x = -2 \). Тогда \( y = -2 + 3 = 1 \). Точка пересечения (-2; 1).

Ответ: (-2; 1).