Вариант 4, Задание 2. Упростите выражение и найдите его числовое значение:

Решение:

а) Выражение: \( \frac{14a^2 - 14b^2}{21a^2 - 42ab + 21b^2} \)

• Вынесем общие множители:
• \( \frac{14(a^2 - b^2)}{21(a^2 - 2ab + b^2)} \)
• Числитель: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
• Знаменатель: \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \).
• \( \frac{14(a - b)(a + b)}{21(a - b)^2} \)
• Сократим на \( 7(a - b) \):
• \( \frac{2(a + b)}{3(a - b)} \)

Числовое значение при \( a = -5, b = -7 \):

• \( \frac{2(-5 + (-7))}{3(-5 - (-7))} = \frac{2(-12)}{3(-5 + 7)} = \frac{-24}{3(2)} = \frac{-24}{6} = -4 \)

Ответ: \( \frac{2(a + b)}{3(a - b)} = -4 \).

б) Выражение: \( \frac{2ux + 3vx - 2uy - 3vy}{2ux - 2uy - 3vx + 3vy} \)

• Сгруппируем члены в числителе и знаменателе:
• Числитель: \( (2ux - 2uy) + (3vx - 3vy) = 2u(x - y) + 3v(x - y) = (2u + 3v)(x - y) \).
• Знаменатель: \( (2ux - 2uy) - (3vx - 3vy) = 2u(x - y) - 3v(x - y) = (2u - 3v)(x - y) \).
• \( \frac{(2u + 3v)(x - y)}{(2u - 3v)(x - y)} \)
• Сократим на \( x - y \) (при \( x \neq y \)):
• \( \frac{2u + 3v}{2u - 3v} \)

Числовое значение при \( x = -31.8, y = -47.6, u = -3, v = -1 \):

• \( \frac{2(-3) + 3(-1)}{2(-3) - 3(-1)} = \frac{-6 - 3}{-6 + 3} = \frac{-9}{-3} = 3 \)

Ответ: \( \frac{2u + 3v}{2u - 3v} = 3 \).