Вариант 5, Задание 3. Сократите дробь:

Решение:

\( \frac{x^3 - 2x^2 + 4x - 3}{x^2 - 7x + 6} \)

Для начала попробуем разложить знаменатель на множители. Ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна -7. Это числа -1 и -6.

\( x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) \)

Теперь попробуем проверить, делится ли числитель \( x^3 - 2x^2 + 4x - 3 \) на \( x - 1 \) или \( x - 6 \). Проверим \( x = 1 \):

\( 1^3 - 2(1)^2 + 4(1) - 3 = 1 - 2 + 4 - 3 = 0 \)

Значит, \( x - 1 \) является множителем числителя. Выполним деление многочлена в столбик или по схеме Горнера.

Делим \( x^3 - 2x^2 + 4x - 3 \) на \( x - 1 \):

• \( x^3 - 2x^2 + 4x - 3 = (x - 1)(x^2 - x + 3) \)

Теперь наша дробь выглядит так:

• \( \frac{(x - 1)(x^2 - x + 3)}{(x - 1)(x - 6)} \)
• Сократим на \( x - 1 \) (при \( x \neq 1 \)):
• \( \frac{x^2 - x + 3}{x - 6} \)

Квадратный трехчлен \( x^2 - x + 3 \) не имеет действительных корней, так как его дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0 \). Значит, он дальше не раскладывается.

Ответ: \( \frac{x^2 - x + 3}{x - 6} \).